切比雪夫不等式毕业论文

切比雪夫不等式毕业论文

帕夫努季·利沃维奇·切比雪夫出身于贵族家庭。他的祖辈中有许多人立过战功。父亲列夫·帕夫洛维奇·切比雪夫(ЛевПaвлович Чебышев)参加过抵抗拿破仑(Napoleon)入侵的卫国战争，母亲阿格拉费娜·伊万诺夫娜·切比雪娃(AгpaфеHaИвaновa Чебышевa)也出身名门，他们共生育了五男四女，切比雪夫排行第二。他的一个弟弟弗拉季米尔·利沃维奇·切比雪夫(Влaдимир Лbвович Чебb Iшев)后来成了炮兵将军和彼得堡炮兵科学院的教授，在机械制造与微震动理论方面颇有建树。切比雪夫的左脚生来有残疾，因而童年时代的他经常独坐家中，养成了在孤寂中思索的习惯。他有一个富有同情心的表姐，当其余的孩子们在庄园里嬉戏时，表姐就教他唱歌、读法文和做算术。一直到临终，切比雪夫都把这位表姐的像片珍藏在身边。1832年，切比雪夫全家迁往莫斯科。为了孩子们的教育，父母请了一位相当出色的家庭教师П. H. 波戈列日斯基(Погорелский)，他是当时莫斯科最有名的私人教师和几本流行的初等数学教科书的作者。切比雪夫从家庭教师那里学到了很多东西，并对数学产生了强烈的兴趣。他对欧几里得(Euclid)《几何原本》(Elements)当中关于没有最大素数的证明留下了极深刻的印象。 1837年，年方16岁的切比雪夫进入莫斯科大学，成为哲学系下属的物理数学专业的学生。在大学阶段，摩拉维亚出生的数学家H. Д. 布拉什曼 (Брaшмaн) 对他有较大的影响。1865年9月30日切比雪夫曾在莫斯科数学会上宣读了一封信，信中把自己应用连分数理论于级数展开式的工作归因于布拉什曼的启发。在大学的最后一个学年，切比雪夫递交了一篇题为“方程根的计算” (Вычисление корней урaвнений, 1841) 的论文，在其中提出了一种建立在反函数的级数展开式基础之上的方程近似解法，因此获得该年度系里颁发的银质奖章。大学毕业之后，切比雪夫一面在莫斯科大学当助教，一面攻读硕士学位。大约在此同时，他们家在卡卢加省的庄园因为灾荒而破产了。切比雪夫不仅失去了父母方面的经济支持，而且还要负担两个未成年的弟弟的部分教育费用。1843年，切比雪夫通过了硕士课程的考试，并在J. 刘维尔 (Liouville) 的《纯粹与应用数学杂志》(Journal des mathématiques pures et appliquées)上发表了一篇关于多重积分的文章。1844年，他又在L. 格列尔 (Grelle) 的同名杂志 (Journal für die reine und angewandte Mathematik) 上发表了一篇讨论泰勒级数收敛性的文章。1845年，他完成了硕士论文“试论概率论的基础分析” (Опыт елементaрногоaнaлизa теории вероятностей, 1845) ，于次年夏天通过了答辩。 1846年，切比雪夫接受了彼得堡大学的助教职务，从此开始了在这所大学教书与研究的生涯。他的数学才干很快就得到在这里工作的B. Я. 布尼亚科夫斯基 (Буняковский) 和M. B. 奥斯特罗格拉茨基 (Острогрaдский) 这两位数学前辈的赏识。1847年春天，在题为“关于用对数积分” (Об интегрировaнии с номошьюлогaрифмов, 1847) 的晋职报告中，切比雪夫彻底解决了奥斯特罗格拉茨基不久前才提出的一类代数无理函数的积分问题，他因此被提升为高等代数与数论讲师。他在文章中提出的一个关于二项微分式积分的方法，今天可以在任何一本微积分教程之中找到。1849年5月27日，他的博士论文“论同余式”(Теория срaвнений, 1849)在彼得堡大学通过了答辩，数天之后，他被告知荣获彼得堡科学院的最高数学荣誉奖。切比雪夫于1850年升为副教授，1860年升为教授。1872年，在他到彼得堡大学任教25周年之际，学校授予他功勋教授的称号。1882年，切比雪夫在彼得堡大学执教35年之后光荣退休。35年间，切比雪夫教过数论、高等代数、积分运算、椭圆函数、有限差分、概率论、分析力学、傅里叶级数、函数逼近论、工程机械学等十余门课程。他的讲课深受学生们欢迎。A. M. 李雅普诺夫 (Ляпунов) 评论道：“他的课程是精练的，他不注重知识的数量，而是热衷于向学生阐明一些最重要的观念。他的讲解是生动的、富有吸引力的，总是充满了对问题和科学方法之重要意义的奇妙评论。”1853年，切比雪夫被选为彼得堡科学院候补院士，同时兼任应用数学部主席。1856年成为副院士。1859年成为院士。切比雪夫曾先后六次出国考察或进行学术交流。他与法国数学界联系甚为密切，曾三次赴巴黎出席法国科学院的年会。他于1860年、1871年与1873年分别当选为法兰西科学院、柏林皇家科学院的通讯院士与意大利波隆那科学院的院士，1877年、1880年、1893年分别成为伦敦皇家学会、意大利皇家科学院与瑞典皇家科学院的外籍成员。同时他也是全俄罗斯所有大学的荣誉成员、全俄中等教育改革委员会的成员和彼得堡炮兵科学院的荣誉院士。他还是彼得堡和莫斯科两地数学会的热心支持者。他发起召开的全俄自然科学家和医生代表大会对于科学界之间的相互了解与科学在民众中的影响起到了很大的作用。 切比雪夫是彼得堡数学学派的奠基人和领袖。19世纪以前，俄国的数学是相当落后的。在彼得大帝去世那年建立起来的科学院中，早期数学方面的院士都是外国人，其中著名的有L．欧拉(Euler)、尼古拉·伯努利(Bernoulli，NikolausⅢ)、丹尼尔·伯努利(Bernoulli，Daniel)和C．哥德巴赫(Goldbach)等。俄罗斯没有自己的数学家，没有大学，甚至没有一部象样的初等数学教科书。19世纪上半叶，俄国才开始出现了像H．И．罗巴切夫斯基(Лобaчевский)、布尼亚科夫斯基和奥斯特罗格拉茨基这样优秀的数学家；但是除了罗巴切夫斯基之外，他们中的大多数人都是在外国(特别是法国)接受训练的，而且他们的成果在当时还不足以引起西欧同行们的充分重视。切比雪夫就是在这种历史背景下从事他的数学创造的。他不仅是土生土长的学者，而且以他自己的卓越才能和独特的魅力吸引了一批年轻的俄国数学家，形成了一个具有鲜明风格的数学学派，从而使俄罗斯数学摆脱了落后境地而开始走向世界前列。切比雪夫是彼得堡数学学派的奠基人和当之无愧的领袖。他在概率论、解析数论和函数逼近论领域的开创性工作从根本上改变了法国、德国等传统数学大国的数学家们对俄国数学的看法。切比雪夫是在概率论门庭冷落的年代从事这门学问的。他一开始就抓住了古典概率论中具有基本意义的问题，即那些“几乎一定要发生的事件”的规律——大数定律。历史上的第一个大数定律是由雅格布·伯努利(Bernoulli， Jacob I)提出来的，后来 S－D．B．泊松(Poisson)又提出了一个条件更宽的陈述，除此之外在这方面没有什么进展。相反，由于有些数学家过分强调概率论在伦理科学中的作用甚至企图以此来阐明“隐蔽着的神的秩序”，又加上理论工具的不充分和古典概率定义自身的缺陷，当时欧洲一些正统的数学家往往把它排除在精密科学之外。1845年，切比雪夫在其硕士论文中借助十分初等的工具——ln(1+x)的麦克劳林展开式，对雅格布·伯努利大数定律作了精细的分析和严格的证明。一年之后，他又在格列尔的杂志上发表了“概率论中基本定理的初步证明”(Démonstration èlèmentaired’une proposition génerale de la théorie des probabilités， 1846)一文，文中继而给出了泊松形式的大数定律的证明。1866年，切比雪夫发表了“论平均数”(Oсредних величинaх，1866)，进一步讨论了作为大数定律极限值的平均数问题。1887年，他发表了更为重要的“关于概率的两个定理”(Oдвух теоремaх относительно вероятностей，1887)，开始对随机变量和收敛到正态分布的条件，即中心极限定理进行讨论。切比雪夫引出的一系列概念和研究题材为俄国以及后来苏联的数学家继承和发展。A．A．马尔科夫(Мaрков)对“矩方法”作了补充，圆满地解决了随机变量的和按正态收敛的条件问题。李雅普诺夫则发展了特征函数方法，从而引起中心极限定理研究向现代化方向上的转变。以20世纪30年代A．H．柯尔莫哥洛夫(Колмогоров)建立概率论的公理体系为标志，苏联在这一领域取得了无可争辩的领先地位。近代极限理论——无穷可分分布律的研究也经C．H．伯恩斯坦(Бернштейн)、A．Я．辛钦(Хинчин)等人之手而臻于完善，成为切比雪夫所开拓的古典极限理论在20世纪抽枝发芽的繁茂大树。关于切比雪夫在概率论中所引进的方法论变革的伟大意义，苏联著名数学家柯尔莫哥洛夫在“俄罗斯概率科学的发展”(Роль сусской нaуки в сaзвии теории вероятносгей，ИБИД，стр，53—64)一文中写道：“从方法论的观点来看，切比雪夫所带来的根本变革的主要意义不在于他是第一个在极限理论中坚持绝对精确的数学家(A．棣莫弗(de Moivre)、P－S．拉普拉斯(Laplace)和泊松的证明与形式逻辑的背景是不协调的，他们不同于雅格布·伯努利，后者用详尽的算术精确性证明了他的极限定理)，切比雪夫的工作的主要意义在于他总是渴望从极限规律中精确地估计任何次试验中的可能偏差并以有效的不等式表达出来。此外，切比雪夫是清楚地预见到诸如‘随机变量’及其‘期望(平均)值’等概念的价值，并将它们加以应用的第一个人。这些概念在他之前就有了，它们可以从‘事件’和‘概率’这样的基本概念导出，但是随机变量及其期望值是能够带来更合适与更灵活的算法的课题。”切比雪夫对解析数论的研究集中在他初到彼得堡大学任教的头四年内，当时他正担任着高等代数与数论的讲师，同时兼任欧拉选集数论部分的编辑；后一任命是布尼亚科夫斯基向彼得堡科学院推荐的。1849年，欧拉选集的数论部分(L． Euleri commenta-tiones arithmeticae collectae， 1849)在彼得堡正式出版了。切比雪夫为此付出了巨大的心血，同时他也从欧拉的著作中体会到了深邃的思想和灵活的技巧结合在一起的魅力，特别是欧拉所引入的ξ函数及用它对素数无穷这一古老命题所作的奇妙证明，吸引他进一步探索素数分布的规律。理论联系实际是切比雪夫科学工作的一个鲜明特点。他自幼就对机械有浓厚的兴趣，在大学时曾选修过机械工程课。就在第一次出访西欧之前，他还担任着彼得堡大学应用知识系(准工程系)的讲师。这次出访归来不久，他就被选为科学院应用数学部主席，这个位置直到他去世后才由李雅普诺夫接任。应用函数逼近论的理论与算法于机器设计，切比雪夫得到了许多有用的结果，它们包括直动机的理论、连续运动变为脉冲运动的理论、最简平行四边形法则、绞链杠杆体系成为机械的条件、三绞链四环节连杆的运动定理、离心控制器原理等等。他还亲自设计与制造机器。据统计，他一生共设计了40余种机器和80余种这些机器的变种，其中有可以模仿动物行走的步行机，有可以自动变换船桨入水和出水角度的划船机，有可以度量大圆弧曲率并实际绘出大圆弧的曲线规，还有压力机、筛分机、选种机、自动椅和不同类型的手摇计算机。他的许多新发明曾在1878年的巴黎博览会和1893年的芝加哥博览会上展出，一些展品至今仍被保存在苏联科学院数学研究所、莫斯科历史博物馆和巴黎艺术学院里。1856年，切比雪夫被任命为炮兵委员会的成员，积极地参与了革新炮兵装备和技术的工作。他于1867年提出的一个计算圆形炮弹射程的公式很快被弹道专家所采用，他关于插值理论的研究也部分地来源于分析弹着点数据的需要。他在彼得堡大学教授联席会上作的“论地图制法”(Черченйе геогрaфических кaрт，1856)的报告精辟地分析了数学理论与实践结合的意义，这份报告也详尽讨论了如何减少投影误差的问题。在法国科学院第七次年会上，切比雪夫提出了一篇名为“论服装裁剪”(Sur la coupe des vte-ments，1878)的论文，其中提出的“切比雪夫网”成了曲面论中的一个重要概念。切比雪夫终身未娶，日常生活十分简朴，他的一点积蓄全部用来买书和制造机器。每逢假日，他也乐于同侄儿女们在一起轻松一下，但是他最大的乐趣是与年轻人讨论数学问题。1894年11月底，他的腿疾突然加重，随后思维也出现了障碍，但是病榻中的他仍然坚持要求研究生前来讨论问题，这个学生就是后来成为俄国在代数领域中的开拓者的Д．A．格拉韦(Грaве)。1894年12月8日上午9时，这位令人尊敬的学者在自己的书桌前溘然长逝。他既无子女，又无金钱，但是他却给人类留下了一笔不可估价的遗产——一个光荣的学派。彼得堡数学学派是伴随着切比雪夫几十年的舌耕笔耘成长起来的。它深深地扎根在大学这块沃土里，它的成员们大都重视基础理论和实际应用，善于以经典问题为突破口，并擅长运用初等工具建立高深的结果。19世纪下半叶，俄国数学主要是在切比雪夫的领导下，首先在概率论、解析数论和函数逼近论这三个领域实现了突破。科尔金、佐洛塔廖夫、Ю．B．索霍茨基(Сохоцкий)、K．A．波谢(Поссе)、马尔科夫、李雅普诺夫、格拉韦、Г．Ф．伏罗诺伊(Вороной)、C．И．沙图诺夫斯基(Шaтуновский)A．H．克雷洛夫(Крылов)、H．E．茹科夫斯基(Жуковский)、B．A．斯捷克洛夫(Стеклов)等人又在复变函数、微分方程、代数、群论、数的几何学、函数构造、数学物理等领域大显身手，使俄国数学在19世纪末大体跟上了世界先进的潮流，某些领域的优势则一直保留到今日。时至今日，俄罗斯已经是一个数学发达的国家，俄罗斯数学界的领袖们仍以自己被称为切比雪夫和彼得堡学派的传人而自豪。

切比雪夫定理如下：

任意一个数据集中，位于其平均数m个标准差范围内的比例（或部分）总是至少为1-1/㎡，其中m为大于1的任意正数。对于m=2和m=3有如下结果：

所有数据中，至少有3/4（或75%）的数据位于平均数2个标准差范围内。

所有数据中，至少有8/9（或89%）的数据位于平均数3个标准差范围内。

伯特兰—切比雪夫定理（贝特朗猜想）：

若整数n > 3，则至少存在一个质数p，符合n < p < 2n − 2。另一个稍弱说法是：对于所有大于1的整数n，存在一个质数p，符合n < p < 2n。

发展简史：

1845年约瑟·伯特兰提出了“伯特兰-切比雪夫定理”这个猜想。伯特兰检查了2至3×10^6之间的所有数。1850年切比雪夫证明了这个猜想。拉马努金给出较简单的证明，而保罗·艾狄胥则借二项式系数给出了另一个简单的证明。

他没受过正规的高等数学教育，沉迷数论，尤爱牵涉π、质数等数学常数的求和公式，以及整数分拆。惯以直觉导出公式，不喜作证明（事后往往证明他是对的）。他留下的那些没有证明的公式，引发了后来的大量研究。

1997年，《拉马努金期刊》创刊，用以发表有关“受到拉马努金影响的数学领域”的研究论文。

你好。切比雪夫（chebyshev）不等式对于任一随机变量x,若ex与dx均存在,则对任意ε＞0,恒有p{|x-ex|>=ε}<=dx/ε^2切比雪夫不等式说明，dx越小，则p{|x-ex|>=ε}越小，p{|x-ex|<ε}越大，也就是说，随机变量x取值基本上集中在ex附近，这进一步说明了方差的意义。同时当ex和dx已知时，切比雪夫不等式给出了概率p{|x-ex|>=ε}的一个上界，该上界并不涉及随机变x的具体概率分布，而只与其方差dx和ε有关，因此，切比雪夫不等式在理论和实际中都有相当广泛的应用。需要指出的是，虽然切比雪夫不等式应用广泛，但在一个具体问题中，由它给出的概率上界通常比较保守。希望对你有所帮助。

不等式毕业论文

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本科数学毕业论文范文：高等数学教学中体现数学建模思想的方法

生产计划是对生产全过程进行合理规划的有效手段，是一个十分繁复的过程，以下是我搜集整理的一篇探究高等数学教学中体现数学建模思想的方法的范文，欢迎阅读参考。

1数学建模在煤矿安全生产中的意义

在瓦斯系统的研究过程中，应用数学建模的手段为矿井瓦斯构建数学模型，可以为采煤方案的设计和通风系统的建设提供很大的帮助;尤其是对于我国众多的中小型煤矿而言，因为资金有限而导致安全设施不完善，有的更是没有安全项目的投入，仅仅建设了极为少量的给风设备，通风系统并不完善。这些煤矿试图依靠通风量来对瓦斯体积分数进行调控，这是十分困难的，对瓦斯体积分数进行预测更是不可能的。很多小煤矿使用的仍旧是十分原始的采煤方法，没有相关的规划;当瓦斯等有害气体体积分数升高之后就停止挖掘，体积分数下降之后又继续进行开采。这种开采方式的工作效率十分低下。

只要设计一个充分合理的通风系统的通风量，与采煤速度处于一个动态的平衡状态，就可以在不延误煤炭开采的同时将矿井内的瓦斯气体体积分数控制在一个安全的范围之内。这样不仅可以保障工人的安全，还可以保证煤炭的开采效率，每个矿井都会存在着这样的一个平衡点，这就对矿井瓦斯涌出量判断的准确性提出更高的要求。

2煤矿生产计划的优化方法

生产计划是对生产全过程进行合理规划的有效手段，是一个十分繁复的过程，涉及到的约束因素很多，条理性很差。为了成功解决这个复杂的问题，现将常用的生产计划分为两个大类。

基于数学模型的方法

(1)数学规划方法这个规划方法设计了很多种各具特点的手段，根据生产计划做出一个虚拟的模型，在这里主要讨论的是处于静止状态下所产生的问题。从目前取得的效果来看，研究的方向正在逐渐从小系统向大系统推进，从过去的单个层次转换到多个层次。

(2)最优控制方法这种方式应用理论上的控制方法对生产计划进行了研究，而在这里主要是针对其在动态情况下的问题进行探讨。

基于人工智能方法

(1)专家系统方法专家系统是一种将知识作为基础的为计算机编程的系统，对于某个领域的繁复问题给出一个专家级别的解决方案。而建立一个专家系统的关键之处在于，要预先将相关专家的知识等组成一个资料库。其由专家系统知识库、数据库和推理机制构成。

(2)专家系统与数学模型相结合的方法常见的有以下几种类型：①根据不同情况建立不同的数学模型，而后由专家系统来进行求解;②将复杂的问题拆分为多个简单的子问题，而后针对建模的子问题进行建模，对于难以进行建模的问题则使用专家系统来进行处理。在整体系统中两者可以进行串行工作。

3煤矿安全生产中数学模型的优化建立

根据相关数据资料来进行模拟，而后再使用系统分析来得出适合建立哪种数学模型。取几个具有明显特征的采矿点进行研究。在煤矿挖掘的过程中瓦斯体积分数每时每刻都在变化，可以通过通风量以及煤炭采集速度来保证矿中瓦斯体积分数处在一个安全的范围之内。假设矿井分为地面、地下一层与地下二层工作面，取地下一层两个矿井分别为矿井A、矿井B,地下二层分别为矿井C、矿井D.然后对其进行分析。

建立简化模型

模型构建表达工作面A瓦斯体积分数x·1=a1x1+b1u1-c1w1-d1w2(1)式中x1---A工作面瓦斯体积分数;u1---A工作面采煤进度;w1---A矿井所对应的空气流速;w2---相邻B工作面的空气流速;a1、b1、c1、d1---未知量系数。

很明显A工作面的通风量对自身瓦斯体积分数所产生的影响要显着大于B工作面的风量，从数学模型上反映出来就是要求c1>d1.同样的B工作面(x·2)和工作面A所在的位置很相似，也就应该具有与之接近的数学关系式

式中x2---B工作面瓦斯体积分数;

u2---B工作面采煤进度;

w1---B矿井所对应的空气流速;

w2---相邻A工作面的空气流速;

a2、b2、c2、d2---未知量系数。

CD工作面(x·3、x·4)都位于B2层的位置，其工作面瓦斯体积分数不只受到自身开采进度情况的影响，还受到上层AB通风口开阔度的影响。在这里，C、D工作面瓦斯体积分数就应该和各个通风口的通风量有着密不可分的联系;于是C、D工作面瓦斯体积分数可以表示为【3】

式中x3、x4---C、D工作面的瓦斯体积分数;

e1、e2---A、B工作面的瓦斯体积分数;

a3、b3、c3、d3---未知量系数：

f1、f2---A、B工作面的瓦斯绝对涌出量。

系统简化模型的辨识这个简化模型其实就是对于参数的最为初步的求解，也就是在一段时间内的实际测量所得数据作为流通量，对上面方程组进行求解操作。而后得到数学模型，将实际数据和预测数据进行多次较量，再加入相关人员的长期经验(经验公式)。修正之后的模型依旧使用上述的方法来进行求解，因为A、B工作面基本不会受C、D工作面的影响。

模型的转型及其离散化

因为这个项目是一个矿井安全模拟系统，要对数学模型进行离散型研究，这是使用随机数字进行试数求解的关键步骤。离散化之后的模型为【1】

在使用原始数据来对数学模型进行辨识的过程中，ui表示开采进度，以t/d为单位，相关风速单位是m/s,k为工作面固定系数，h为4个工作面平均深度。为了便于将该系统转化为计算机语言，把开采进度ui从初始的0~1000t/d范围，转变为0~1,那么在数字化采煤中进度单位1即表示1000t/d,如果ui=就表示每日产煤量500t.诸如此类，工作面空气流通速度wi的原始取值范围是0~4m/s,对其进行数字化，其新数值依旧是0~1,也就表示这wi取1时表示风速为4m/s,若表示通风口的开通程度是,也就是通风口打开一半(2m/s)，wi如果取1则表示通风口开到最大。

依照上述分析来进行数字化转换，数据都会产生变化，经过计算之后可以得到新的参数数据，在计算的过程之中使用0~1的数据是为了方便和计算机语言的转换，在进行仿真录入时在0~1之间的一个有效数字就会方便很多。开采进度ui的取值范围0~1表示的是每日产煤数量区间是0~1000t,而风速wi取值0~1所表示的是风速取值在0~4m/s这个区间之内。

模型的应用效果及降低瓦斯体积分数的措施

以上对煤矿生产中的常见问题进行了相关分析，发现伴随着时间的不断增长瓦斯涌体积分数等都会逐渐衰减，一段时间后就会变得微乎其微，这就表明这类资料存在着一个衰减周期，经过长期观测发现衰减周期T≈18h.而后，又研究了会对瓦斯涌出量产生影响的其他因素，发现在使用炮采这种方式时瓦斯体积分数会以几何数字的速度衰减，使用割煤手段进行采矿时瓦斯会大量涌出，其余工艺在采煤时并不会导致瓦斯体积分数产生剧烈波动。瓦斯的涌出量伴随着挖掘进度而提升，近乎于成正比，而又和通风量成反比关系。因为新矿的瓦斯体积分数比较大，所以要及时将煤运出，尽量缩短在煤矿中滞留的时间，从而减小瓦斯涌出总量。

综上所述，降低工作面瓦斯体积分数常用手段有以下几种：①将采得的煤快速运出，使其在井中停留的时间最短;②增大工作面的通风量;③控制采煤进度，同时也可以控制瓦斯的涌出量。

4结语

应用数学建模的手段对矿井在采矿过程中涌出的瓦斯体积分数进行了模拟及预测，为精确预测矿井瓦斯体积分数提供了一个新的思路，对煤矿安全高效生产提供了帮助，有着重要的现实意义。

参考文献:

[1]陈荣强,姚建辉,孟祥龙.基于芯片控制的煤矿数控液压站的设计与仿真[J].科技通报，2012,28(8)：103-106.

[2]陈红，刘静，龙如银.基于行为安全的煤矿安全管理制度有效性分析[J].辽宁工程技术大学学报：自然科学版，2009,28(5)：813-816.

[3]李莉娜,胡新颜,刘春峰.煤矿电网谐波分析与治理研究[J].煤矿机械，2011,32(6)：235-237.

微积分 Calculus 矩阵 Matrix 不等式 Inequality 证明 prove一题多解 Multiple Solutions for a title

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特殊不等式毕业论文

还有三个月就是毕业生们答辩的时间了，但是很多毕业生们目前连选题都还没有选好。时间紧迫，我立马为大家精心整理了一些大学数学系本科毕业论文题目，供毕业生们参考! 1、导数在不等式证明中的应用 2、导数在不等式证明中的应用 3、导数在不等式证明中的应用 4、等价无穷小在求函数极限中的应用及推广 5、迪克斯特拉(Dijkstra)算法及其改进 6、第二积分中值定理“中间点”的性态 7、对均值不等式的探讨 8、对数学教学中开放题的探讨 9、对数学教学中开放题使用的几点思考 10、对现行较普遍的彩票发行方案的讨论 11、对一定理证明过程的感想 12、对一类递推数列收敛性的讨论 13、多扇图和多轮图的生成树计数 14、多维背包问题的扰动修复 15、多项式不可约的判别方法及应用 16、多元函数的极值 17、多元函数的极值及其应用 18、多元函数的极值及其应用 19、多元函数的极值问题 20、多元函数极值问题 21、二次曲线方程的化简 22、二元函数的单调性及其应用 23、二元函数的极值存在的判别方法 24、二元函数极限不存在性之研究 25、反对称矩阵与正交矩阵、对角形矩阵的关系 26、反循环矩阵和分块对称反循环矩阵 27、范德蒙行列式的一些应用 28、方阵A的伴随矩阵 29、放缩法及其应用 30、分块矩阵的应用 31、分块矩阵行列式计算的若干方法 32、辅助函数在数学分析中的应用 33、复合函数的可测性 34、概率方法在其他数学问题中的应用 35、概率论的发展简介及其在生活中的若干应用 36、概率论在彩票中的应用 37、概率统计在彩票中的应用 38、概率统计在实际生活中的应用 39、概率在点名机制中的应用 40、高阶等差数列的通项，前n项和公式的探讨及应用 41、给定点集最小覆盖快速近似算法的进一步研究及其应用 42、关联矩阵的一些性质及其应用 43、关于Gauss整数环及其推广 44、关于g-循环矩阵的逆矩阵 45、关于二重极限的若干计算方法 46、关于反函数问题的讨论 47、关于非线性方程问题的求解 48、关于函数一致连续性的几点注记 49、关于矩阵的秩的讨论 _ 50、关于两个特殊不等式的推广及应用 51、关于幂指函数的极限求法 52、关于扫雪问题的数学模型 53、关于实数完备性及其应用 54、关于数列通项公式问题探讨 55、关于椭圆性质及其应用地探究、推广 56、关于线性方程组的迭代法求解 57、关于一类非开非闭的商映射的构造 58、关于一类生态数学模型的几点思考 59、关于圆锥曲线中若干定值问题的求解初探 60、关于置信区间与假设检验的研究 61、关于周期函数的探讨 62、函数的一致连续性及其应用 63、函数定义的发展 64、函数级数在复分析中与在实分析中的关系 65、函数极值的求法 66、函数幂级数的展开和应用 67、函数项级数的收敛判别法的推广和应用 68、函数项级数一致收敛的判别 69、函数最值问题解法的探讨 70、蝴蝶定理的推广及应用 71、化归中的矛盾分析法研究 72、环上矩阵广义逆的若干性质 73、积分中值定理的再讨论 74、积分中值定理正反问题‘中间点’的渐近性 75、基于高中新教材的概率学习 76、基于最优生成树的'海底油气集输管网策略分析 77、级数求和的常用方法与几个特殊级数和 78、级数求和问题的几个转化 79、级数在求极限中的应用 80、极限的求法与技巧 81、极值的分析和运用 82、极值思想在图论中的应用 83、几个广义正定矩阵的内在联系及其区别 84、几个特殊不等式的巧妙证法及其推广应用 85、几个重要不等式的证明及应用 86、几个重要不等式在数学竞赛中的应用 87、几种特殊矩阵的逆矩阵求法

(a+m)/(b+m) -a/b=(a+m)*b/(b+m)*b -a*(b+m)/b*（b+m）=(a*b+m*b - a*b - a*m)/(b+m)*b=(b*m-a*m)/(b+m)*b=（b-a）*m/(b+m)*b因为a,b,m都是正数，且a所以（b-a）*m/(b+m)*b>0所以不等式a＋m／b＋m＞a／b成立

论文研究般较宽泛领域看定性研究与定量研究；取材面看实证研究（实际调查案例析基础）与文献归纳等；析手看归纳、演绎与比较析等等要看专业专业运用研究

毕业论文基本不等式

任何一本泛函分析讲到minkowski不等式和L^p空间的都会讲到，比如这本：《应用泛函分析》(薛小平 编著；电子工业出版社)第一章最后一节，证明Holder不等式时用到的一个不等式就是你说的Young不等式(该书用代数方法证明)。Young不等式可以从几何和代数两种方法来证明，几何角度证明更容易理解。Young不等式=>Holder不等式=>Minkowski不等式，最后这个不等式是常见三角不等式的推广，在度量空间中的直接满足度量定义的第三个性质。

我这里有一份“等”对“不等”的启示 对于解集非空的一元二次不等式的求解，我们常用“两根之间”、“两根之外”这类简缩语来说明其结果，同时也表明了它的解法．这是用“等”来解决“不等”的一个典型例子．从表面上看，“等”和“不等”是对立的，但如果着眼于“等”和“不等”的关系，会发现它们之间相互联系的另一面．设M、N是代数式，我们把等式M＝N叫做不等式M＜N，M≤N，M＞N、M≥N相应的等式．我们把一个不等式与其相应的等式对比进行研究，发现“等”是“不等”的“界点”、是不等的特例，稍微深入一步，可以从“等”的解决来发现“不等”的解决思路、方法与技巧．本文通过几个常见的典型例题揭示“等”对于“不等”在问题解决上的启示． � 1．否定特例，排除错解 �解不等式的实践告诉我们，不等式的解区间的端点是它的相应等式（方程）的解或者是它的定义区间的端点（这里我们把＋∞、－∞也看作端点）．因此我们可以通过端点的验证，否定特例，排除错解，获得解决问题的启示． �例1 满足sin（x－π／4）≥1／2的x的集合是（）． ��A．｛x｜2kπ＋5π／12≤x≤2kπ＋13π／12，k∈Z｝ ��B．｛x｜2kπ－π／12≤x≤2kπ＋7π／12，k∈Z｝ ��C．｛x｜2kπ＋π／6≤x≤2kπ＋5π／6，k∈Z｝ ��D．｛x｜2kπ≤x≤2kπ＋π／6，k∈Z｝∪｛2kπ＋5π／6≤（2k＋1）π，k∈Z｝（1991年三南试题） �分析：当x＝－π／12、x＝π／6、x＝0时，sin（x－π／4）＜0，因此排除B、C、D，故选A． �例2 不等式 ＋｜x｜／x≥0的解集是（）． ��A．｛x｜－2≤x≤2｝ ��B．｛x｜－ ≤x＜0或0＜x≤2｝ ��C．｛x｜－2≤x＜0或0＜x≤2｝ ��D．｛x｜－ ≤x＜0或0＜x≤ ｝ � 分析：由x＝－2不是原不等式的解排除A、C，由x＝2是原不等式的一个解排除D，故选B． �这两道题若按部就班地解来，例1是易错题，例2有一定的运算量．上面的解法省时省力，但似有“投机取巧”之嫌．选择题给出了三误一正的答案，这是问题情景的一部分．而且是重要的一部分．我们利用“等”与“不等”之间的内在联系，把目光投向解区间的端点，化繁为简，体现了具体问题具体解决的朴素思想，这种“投机取巧”正是抓住了问题的特征，体现了数学思维的敏捷性和数学地解决问题的机智．在解不等式的解答题中，我们可以用这种方法来探索结果、验证结果或缩小探索的范围． �例3 解不等式loga（1－1／x）＞1．（1996年全国高考试题） �分析：原不等式相应的等式--方程loga（1－1／x）＝1的解为x＝1／（1－a）（a≠1是隐含条件）．原不等式的定义域为（1，＋∞）∪（－∞，0）．当x→＋∞或x→－∞时，loga（1－1／x）→0，故解区间的端点只可能是0、1或1／（1－a）．当0＜a＜1时，1／（1－a）＞1，可猜测解区间是（1，1／（1－a））；当a＞1时，1／（1－a）＜0，可猜测解区间是（1／（1－a），0）．当然，猜测的时候要结合定义域考虑． �上面的分析，可以作为解题的探索，也可以作为解题后的回顾与检验．如果把原题重做一遍视为检验，那么一则费时，对考试来说无实用价值，对解题实践来说也失去检验所特有的意义；二则重做一遍往往可能重蹈错误思路、错误运算程序的复辙，费时而于事无补．因此，抓住端点探索或检验不等式的解，是一条实用、有效的解决问题的思路． �2．诱导猜想，发现思路 �当我们证明不等式M≥N（或M＞N、M≤N、M＜N）时，可以先考察M＝N的条件，基本不等式都有等号成立的充要条件，而且这些充要条件都是若干个正变量相等，这就使我们的思考有了明确的目标，诱导猜想，从而发现证题思路．这种思想方法对于一些较难的不等式证明更能显示它的作用． �例4 设a、b、c为正数且满足abc＝1，试证：1／a3（b＋c）＋1／b3（c＋a）＋1／c3（a＋b）≥3／2．（第36届IMO第二题） �分析：容易猜想到a＝b＝c＝1时，原不等式的等号成立，这时1／a3（b＋c）＝1／b3（c＋a）＝1／c3（a＋b）＝1／2．考虑到“≥”在基本不等式中表现为“和”向“积”的不等式变换，故想到给原不等式左边的每一项配上一个因式，这个因式的值当a＝b＝c＝1时等于1／2，且能通过不等式变换的运算使原不等式的表达式得到简化． �1／a3（b＋c）＋（b＋c）／4bc≥ ＝1／a， �1／b3（a＋c）＋（a＋c）／4ca≥1／b， �等号不一定成立而启迪我们对问题进一步探索的典型例子是1997年全国高考（理科）第22题： �例8 甲、乙两地相距S千米（km），汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米／小时（km／h）．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米／小时）的平方成正比，比例系数为b，固定部分为a元． �Ⅰ．把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米／小时）的函数，并指出这个函数的定义域； �Ⅱ．为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶? �分析：y＝aSv＋bSv，v∈（0，c〕，由y≥2S 当且仅当aS／v＝bSv，即当v＝ 时等号成立得，当v＝ 时y有最小值．这是本题的正确答案吗?那就得考虑v＝ 是否一定成立．当 ≤c时可以，但 是有可能大于c的．这就引发了我们进行分类讨论的动机，同时也获得分类的标准． �综上所述，“等”是不等式问题中一道特殊的风景，从“等”中寻找问题解决的思路，本质上是特殊化思想在解题中的应用．从教学上看，引导学生注视不等式问题中的“等”，是教会学生发现问题、提出问题，从而分析问题、解决问题的契机． �1／c3（a＋b）＋（a＋b）／4ab≥1／c， �将这三个等式相加可得 �1／a3（b＋c）＋1／b3（c＋a）＋1／c3（a＋b）≥1／a＋1／b＋1／c－（1／4）〔（b＋c）／bc＋（c＋a）／ca＋（a＋b）／ab〕＝（1／2）（1／a＋1／b＋1／c）≥（3／2） ＝3／2，从而原不等式获证． �这道题看似不难，当年却使参赛的412名选手中有300人得0分．上述凑等因子的思路源于由等号的成立条件而产生的猜想，使思路变得较为自然，所用的知识是一般高中生所熟知的．再举二例以说明这种方法有较大的适用范围． �例5 设a，b，c，d是满足ab＋bc＋cd＋da＝1的正实数，求证：a3／（b＋c＋d）＋b3／（a＋c＋d）＋c3／（a＋b＋d）＋d3／（a＋b＋c）≥1／3．（第31届IMO备选题） �证明：a3／（b＋c＋d）＋a（b＋c＋d）／9≥（2／3）a2， �b3／（a＋c＋d）＋b（a＋c＋d）／9≥（2／3）b2， �c3／（a＋b＋d）＋c（a＋b＋d）／9≥（2／3）c2， �d3／（a＋b＋c）＋d（a＋b＋c）／9≥（2／3）d2． �∴ a3／（b＋c＋d）＋b3／（a＋c＋d）＋c3／（a＋b＋d）＋d3／（a＋b＋c）≥（2／3）（a2＋b2＋c2＋d2）－（2／9）（ab＋bc＋cd＋da＋ac＋bd） �＝（5／9）（a2＋b2＋c2＋d2）－（2／9）（ab＋bc＋cd＋da）＋（1／9）（a2＋c2－2ac＋b2＋d2－2bd） �≥（5／9）（a2＋b2＋c2＋d2）－（2／9）（ab＋bc＋cd＋da）≥（5／9）（ab＋bc＋cd＋da）－（2／9）（ab＋bc＋cd＋da）＝（1／3）（ab＋bc＋cd＋da）＝1／3． �当a＝b＝c＝d＝1／2时，原不等式左边的四个项都等于1／12，由此出发凑“等因子”．对于某些中学数学中的常见问题也可用这种方法解决，降低问题解决对知识的要求． �例6 设a，b，c，d∈R＋，a＋b＋c＋d＝8，求M＝ ＋ ＋ ＋ 的最大值． �分析：猜想当a＝b＝c＝d＝2时M取得最大值，这时M中的4个项都等于3．要求M的最大值，需将M向“≤”的方向进行不等变换，由此可得3 ≤（3＋4a＋1）／2＝2a＋2，3 ≤2b＋2，3 ≤2c＋2，3 ≤2d＋2．于是3M≤2（a＋b＋c＋d）＋8＝24，∴M≤8．当且仅当a＝b＝c＝d时等号成立，所以M的最大值为8． �当然，例6利用平方平均数不小于算术平均数是易于求解的，但需要高中数学教材外的知识．利用较少的知识解决较多的问题，是数学自身的追求，而且从教学上考虑，可以更好地培养学生的数学能力．先有猜想，后有设计，再有证法，也是数学地思考问题的基本特征． �3．引发矛盾，启迪探索 �在利用基本不等式求最大值或最小值时，都必须考虑等号能否取得，这不仅是解题的规范要求，而且往往对问题的解决提供有益的启示．特别当解题的过程似乎顺理成章，但等号成立的条件却发生矛盾或并不一定成立．这一新的问题情景将启迪我们对问题的进一步探索． �例7 设a，b∈R＋，2a＋b＝1，则2 －4a2－b2有（）． ��A．最大值1／4� B．最小值1／4 ��C．最大值（ －1）／2� D．最小值（ －1）／2 � 分析：由4a2＋b2≥4ab，得原式≤2 －4ab＝－4（ ）2＋2 ＝－4（ －1／4）2＋1／4≤1／4．若不对不等变换中等号成立的条件进行研究，似已完成解题任务，而且觉得解题过程颇为自然，但若研究一下等号成立的条件，则出现了矛盾：要使4a2＋b2≥4ab中的等号成立，则应有2a＝b＝1／2，这时 ＝ ／4≠1／4，第二个“≤”中的等号不能成立．这一矛盾使我们感觉到解题过程的错误，促使我们另辟解题途径．事实上，原式＝2 －（2a＋b）2＋4ab＝4ab＋2 －1，而由1＝2a＋b≥2 得0＜ ≤ ／4，ab≤1／8，∴原式≤ ／2＋1／2－1＝（ －1）／2，故选�C． 本文来自论文大学网

毕业论文均值不等式

会计考研是分为会计学硕和会计专硕，这两种统称为会计考研，但是所要考的数学内容是不同的。

会计专硕中所考的数学是在联考中的，也就是咱们所说的199管理类联考。

199管理类联考中所考的数学属于基础数学，所考内容是高中所学的数学知识，这个很简单。

会计学硕是咱们经常说的会计学，会计学考数学三。

考研数学三是考高等数学、线性代数、概率论与数理统计这三部分内容。

数学三满分150分，从试卷结构上来看，设有三种题型：选择题(8道共32分)、填空题(6道共24分)、解答题(9道共94分)。通过分析近些年考试大纲中给出的考点，数三是要求考173个考点，基础知识会占总分的70%，也就是150*70%=105分。同时也会有侧重点，数三要求掌握经济应用问题。

扩展资料：

试题涉及的数学知识范围有：

(一)算术

1.整数

(1)整数及其运算

(2)整除、公倍数、公约数

(3)奇数、偶数

(4)质数、合数

2.分数、小数、百分数

3.比与比例

4.数轴与绝对值

(二)代数

1.整式

(1)整式及其运算

(2)整式的因式与因式分解

2.分式及其运算

3.函数

(1)集合

(2)一元二次函数及其图像

(3)指数函数、对数函数

4.代数方程

(1)一元一次方程

(2)一元二次方程

(3)二元一次方程组

5.不等式

(1)不等式的性质

(2)均值不等式

(3)不等式求解

一元一次不等式(组)，一元二次不等式，简单绝对值不等式，简单分式不等式。

6.数列、等差数列、等比数列

(三)几何

1.平面图形

(1)三角形

(2)四边形

矩形，平行四边形，梯形。

(3)圆与扇形

2.空间几何体

(1)长方体

(2)柱体

(3)球体

3.平面解析几何

(1)平面直角坐标系

(2)直线方程与圆的方程

(3)两点间距离公式与点到直线的距离公式

(四)数据分析

1.计数原理

(1)加法原理、乘法原理

(2)排列与排列数

(3)组合与组合数

2.数据描述

(1)平均值

(2)方差与标准差

(3)数据的图表表示

直方图，饼图，数表。

3.概率

(1)事件及其简单运算

(2)加法公式

(3)乘法公式

(4)古典概型

(5)伯努利概型

为了适应社会主义市场经济发展和经济全球化的需要，健全和完善国家高层次会计人才培养体系，建设高素质、应用型的会计人才队伍，特设置会计硕士专业学位。

会计硕士专业学位培养高层次、应用型会计专门人才，其招生对象、课程设置、培养方式以及知识和能力结构等应遵循会计职业的原则。

会计硕士专业学位获得者应较好地掌握马克思主义基本原理和邓小平理论，坚持四项基本原则，德智体全面发展；具备良好的职业道德；系统地掌握现代会计理论与实务以及相关领域的知识与技能；为将来具备会计工作领导能力大好素质基础。

招生对象为具有国民教育系列本科毕业（一般应具有学士学位）。

教学内容要学以致用，教学方法采用课堂讲授、研讨、模拟训练、案例分析、社会调查和实习等多种形式。

学位论文选题应紧密结合会计实务。论文形式可以是研究报告、调研报告或案例分析报告等。论文应体现学生运用会计学科及相关学科的理论、知识、方法等分析于解决会计实际问题的能力。

修满规定学分并通过论文答辩者，授予会计硕士专业学位。

会计硕士专业学位证书由国务院学位委员会办公室统一印制。

参考资料：百度百科——会计硕士专业学位

浅谈数学中的研究性学习 （转，供参考）找个自己感兴趣的题目去写，参考范文！ 现代社会知识更新的速度不断加快，在高中阶段，对学生传授的知识是有限的，学校教育不可能让学生学的知识用上一辈子。人们在获得生存与发展中所面临的问题越来越具有社会性、复杂性和不可预见性，人们所必需的知识范围与能力素养的范围急剧扩大。而作为一名数学教师我们有责任引导学生从数学的角度分析社会生活和实践活动中的问题、开展探究活动，让学生在获得必要的数学知识与技能的同时，认识知识探究与问题探索的基本方法和途径，提高参与社会生活的探究、发现和改造等一切活动中进行决策的基本能力。 一、 正确的认识是开展数学研究性学习的基础 弄清概念：什么是数学研究性学习 数学研究性学习是培养学生在数学教师指导下，从自身的数学学习和社会生活、自然界以及人类自身的发展中选取有关数学研究专题，以探究的方式主动地获取数学知识、应用数学知识解决数学问题的学习方式。它同社会实践等教育活动一样，从特定的数学角度和途径让学生联系社会生活实例，通过亲身体验进行数学的学习。数学研究性学习强调要结合学生的数学学习和社会生活实践选择课题，学生从自身数学学习实践出发，找到他们感兴趣的、有探究价值的数学问题。开展数学研究性课题学习将会转变学生的数学学习方式，变传统的“接受性、训练性学习”为新颖的“研究性学习”，它有利于克服当前数学教学中注重教师传授而忽视学生发展的弊端，有利于调动学生的研究热情，激发学生的求知欲和进取精神，从而有效提高学生对数学的探究性学习能力、实践能力、创造能力和创新意识。 数学研究性学习是学生数学学习的一个有机组成部分，是在基础性、拓展性课程学习的基础上，进一步鼓励学生运用所学知识解决数学和现实问题的一种有意义的主动学习，是以学生动手动脑，主动探索实践和相互交流为主要学习方式的学习研究活动。 二、如何进行数学研究性学习 数学研究性学习是学生数学学习的一个有机组成部分，是在基础性、拓展性课程学习的基础上，进一步鼓励学生运用所学知识解决数学的和现实的问题的一种有意义的主动学习，是以学生动手动脑主动探索实践和相互交流为主要学习方式的学习研究活动。它能营造一个使学生勇于探索争论和相互学习鼓励的良好氛围，给学生提供自主探索、合作学习、独立获取知识的机会。古希腊哲学家德谟克利特曾经指出：“教育力图达到的目标不是完备的知识，而是充分的理解。”我国古代教育家说得更精辟且形象：教学中应“授之以‘渔’”，而不仅是“授之以‘鱼’”。数学研究性学习更加关注学习过程，然而老师又如何让学生在数学课堂上进行研究性学习呢？ （一） 从教材切入让学生在数学家探索数学规律的研究思维过程中体验研究性学习 ?在高中数学教材中有大量的材料可切入研究性学习的探索。在课堂教学中，教师应把握住“遵循大纲、教材，但又不拘泥于大纲、教材”的原则，结合生产、生活实际适当地加深、加宽，选出探究的切入点，对学生创新意识和能力进行初步培养。如：在讲复数的概念的引入时，告诉学生数的发展是由生产与生活的需要和解方程的需要推动的，是科学实际和生产、生活相结合的产物，然后要学生：解方程： 。学生一定会说无解或无实数解，教师引导学生分析“无解”和“无实数解”的区别，要学生探讨是不是有什么新的东西？如果有应该是怎样的？学生会通过探求及讨论发现此方程的解有但不是实数从而就会想到是虚的，教师要求学生用已有的方法求出方程的解，学生往往会感觉困难，教师就要问学生为什么困难？学生会说无法求，教师要求学生探求一个新的东西出来解决。 通过问题的层层揭示，并通过联系数的开方知识、解方程知识等手段来突破难点。这一过程使学生亲历数学研究之中，是学生主动地获取知识、应用知识、解决问题的学习活动。这一过程能充分调动学生的参与意识，培养学生的探索精神，启迪学生的思维，使学生能自然地掌握知识。 教师引导学生把提出的新东西进行归纳、总结，上升到理论。然后提出新的问题。如上面这节课对要求学生：解方程：x3-1=0.这样处理能再次将理论和实践结合起来，使学生感悟到在数学学研究中理论和实践之间的辩证关系。课后教师可以再布置几个探究性思考题，让学生在课外进一步巩固课堂上的探究方法和思路，拓展和活跃学生思维。 指导学生进行一题多解和一题多变也是一种研究性学习的方法。 这样以数学教材为载体渗透研究性学习，有一定的灵活性能更好的培养学生探求规律的能力。数学知识探索是数学学习的核心，用类似科学的研究方式，让学生置于探索和研究的气氛之中，亲身参与研究，体会知识及规律的探索方法，提高学生发现和解决问题的能力。 （二） 把握教材例、习题的潜在功能，有效培养学生的研究性学习能力 数学知识由纷繁复杂的客观世界抽象而来，研究性学习能力是学习数学知识的必要条件。很多教师都有一个发现：在学习单个知识时，学生似乎学得不错，但学完了多个知识或一个系统后，却变成简单的题目都不会，这除了综合能力不高外，还与平时没有养成研究性学习有关。像二倍角公式的理解就不能只知道2α是α的二倍角，类似的：4α是2α的二倍，α是的二倍， 例如：已知Sin= ,? ?, 求4的三角函数值。 分析：由，两次运用二倍角公式；又如：Cosα=2Cos 2? ?- 1 = 1 – 2Sin2 ???????? ?Cos 2? ??=? ,? Sin2 ?= ?????? ????tan2 ?= 这实际上是二倍角公式的逆向运用，得到的半角公式（或降幂公式）。有了对例题的深刻理解和研究性学习就能解决一类问题，如求的值；化简等。 通过变式、逆用、一题多解等训练思维的深度，引导学生不满足表面知识，能深入钻研问题，探求各种知识的联系，从而找到解决问题的本质和规律。 在教学上要鼓励学生敢于主动、独立的发现问题、探讨问题，敢于提问，敢于发表自己的不同观点，例如：在△ABC中 ，，求CosC值，可我在批改作业时，没有考究教材参考资料提供的答案（实际上只有），结果把正误答案颠倒。发现错误后，我主动向全班同学道歉，并表扬了善于研究思考、敢于坚持真理的同学。并及时提出新问题：（1）在△ABC中若 ，，求CosC值。有几个解？（2）在△ABC中，成立吗？作为留给学生的课外研究性学习题。学习了正弦定理后，再回头证明。通过这一问题的深刻探讨，不但使学生牢固掌握知识，更大大提升了学习的自信心和学习的热情，在潜移默化中培养了学生的科学态度和研究性学习精神。在学习等比数列前n项和知识时，有一题是：在等比数列中：已知 。在求解过程中学生得到了：? ，进一步发现：成等比数列 ，这就是研究性学习所得的成果，继续引导这一结论并推广就就可完成下面一题。证明：等比数列的也成等比数列。学生们总结前面的学习也较顺利地完成了证明，心理充满了成功的喜悦。真的没有漏洞吗？鼓励学生进行研究性学习探讨其严谨性，有学生举出了反例：数列 1，-1，1，-1……是公比q= -1等比数列，但 ，并不是等比数列；这一发现令人吃惊，因为在课本和其他所有的课外书都没有此说法。从理论上讨论：当，显然当n为偶数且q= -1时， ，不可能为等比数列。由此可见数学研究性学习的重要。 （三） 数学开放题与研究性学习 ??? 研究性学习的开展需要有合适的载体，即使是学生提出的问题也要加以整理归类。作为研究性学习的载体应有利于调动学生学习数学的积极性，有利于学生创造潜能的发挥。实践证明，数学开放题用于研究性学习是合适的。 自70年代日本、美国在中小学教学中较为普遍地使用数学开放题以来，数学开放题已逐渐被数学教育界认为是最富有教育价值的一种数学问题，因为数学开放题能够激起学生的求知欲和学习兴趣，而强烈的求知欲望浓厚的学习兴趣是创新能力发展的内在动力。80年代介绍到我国后，在国内引起了广泛的关注，各类刊物发表了大量的介绍、探讨开放题的理论文章或进行教学实验方面的文章，并形成了一个教育界讨论研究的亮点。 高考命题专家也敏锐地觉察到开放题在考查学生创新能力方面的独特作用，近几年在全国和各地的高考试题中连续出现具有开放性的题目。 数学开放题体现数学研究的思想方法，解答过程是探究的过程，数学开放题体现数学问题的形成过程，体现解答对象的实际状态，数学开放题有利于为学生个别探索和准确认识自己提供时空，便于因材施教，可以用来培养学生思维的灵活性和发散性，使学生体会学习数学的成功感，使学生体验到数学的美感。因此数学开放题用于学生研究性学习应是十分有意义的。 1、浅谈菲波纳契数列的内涵和应用价值 2、一道排列组合题的解法探讨及延伸 3、整除与竞赛 4、足彩优化 5、向量的几件法宝在几何中的应用 6、递推关系的应用 7、坐标方法在中学数学中的应用 8、小议问题情境的创设 9、数学概念探索启发式教学 10、柯西不等式的推广与应用 11、关于几个特殊不等式的几种巧妙证法及其推广应用 12、一道高考题的反思 13、数学中的研究性学习 15、数字危机 16、数学中的化归方法 17、高斯分布的启示 18、 的变形推广及应用 19、网络优化 20、泰勒公式及其应用 21、浅谈中学数学中的反证法 22、数学选择题的利和弊 23、浅谈计算机辅助数学教学 24、数学研究性学习 25、谈发展数学思维的学习方法 26、关于整系数多项式有理根的几个定理及求解方法 27、数学教学中课堂提问的误区与对策 28、中学数学教学中的创造性思维的培养 29、浅谈数学教学中的“问题情境” 30、市场经济中的蛛网模型 31、中学数学教学设计前期分析的研究 32、数学课堂差异教学 33、浅谈线性变换的对角化问题 34、圆锥曲线的性质及推广应用 35、经济问题中的概率统计模型及应用 36、通过逻辑趣题学推理 37、直觉思维的训练和培养 38、用高等数学知识解初等数学题 39、浅谈数学中的变形技巧 40、浅谈平均值不等式的应用 41、浅谈高中立体几何的入门学习 42、数形结合思想 43、关于连通性的两个习题 44、从赌博和概率到抽奖陷阱中的数学 45、情感在数学教学中的作用 46、因材施教与因性施教 47、关于抽象函数的若干问题 48、创新教育背景下的数学教学 49、实数基本理论的一些探讨 50、论数学教学中的心理环境 51、以数学教学为例谈谈课堂提问的设计原则 52、不等式证明的若干方法 53、试论数学中的美 54、数学教育与美育 55、数学问题情境的创设 56、略谈创新思维 57、随机变量列的收敛性及其相互关系 58、数字新闻中的数学应用 59、微积分学的发展史 60、利用几何知识求函数最值 61、数学评价应用举例 62、数学思维批判性 63、让阅读走进数学课堂 64、开放式数学教学