快速傅里叶变换毕业论文

快速傅里叶变换毕业论文

[8] 蒋长锦 蒋勇. 快速傅里叶变换及 c 程序 [M].中国科技大学出版社. 2004. [9] 迂回相位编码的傅里叶变换计算全息图及其再现 王永仲 2004 红外技术. [10] 近距离数字全息术记录和再现问题 罗鹏 2007 光学学报. [11] FFT算法的一种FPGA设计 陆旦前 2007 现代电子技术 希望对你有帮助~

看了很多网上关于FFT的讲解，有一些是直接忽略了公式的推导，另外一些有推导，但是推导中的细节却没有讲清楚。本着不懂就学的心态，我把FFT的思维和推导细节用公式讲清楚，方便后人能更细致地学习FFT。

在了解FFT之前，需要有一些前置的知识，以下为目录。

其中i为虚数单位即 即虚数单位

复数形式： ，其中i为虚数单位

复数乘法： 对于两个复数 和 ，则 由于欧拉公式（见公式1）令 则复数 其中 为该复数所在复平面圆的半径， 为该复数在复平面中的幅角。则两个复数为 ，即 根据4式可得，两个复数的相乘可以看作是 幅角相加，模长相乘 。

单位根： 对于满足 方程的复数，我们称其为n次单位根。由于根据复数乘法，我们可知： 复数相乘为幅角相加，模长相乘 。则对于每个单位根，模长为1，幅角的n倍为0。即 （易得）。

为了保证幅角的n倍始终为0，由于 这个性质，我们可以将单位根表示为 ，其中 。

我们发现无论k取值， 的n倍始终为0。

记 ，则n次单位根可以表示为

多项式的系数表达： 给定一个多项式 其中 为系数向量

多项式的点值表达： 给定一个多项式如公式（5），我们将其离散化，设取 （这里为什么是n+1项，将在第四节中讲到） 互不相同的值 ，将其代入可得 ，则 为 在 上的点值表达。

多项式系数表达的乘法： 给定两个多项式 则多项式系数表达的乘法为 其中: 有式（9）可得，计算复杂度为

多项式点值表达的乘法： 给定两个多项式如式（6）与（7），则其在 上的点值表达分别为： 则多项式点值表达的乘法为 可见，当我们已知 即可在 的复杂度下求得结果多项式的点值表达。

对于一个多项式的乘法，根据上述前置知识的补充，我们可以得知：降低多项式乘法复杂度的方法是将常见的多项式系数表达转变为多项式的点值表达，做完点值表达的乘法后，最后再将点值表达转化为系数表达，即可完成多项式乘法。 所以问题转变为： 1.如何将多项式系数表达转变为多项式点值表达 2.如何将多项式点值表达转变为多项式系数表达 由此引出了 离散傅里叶变换 DFT（Discrete Fourier Transformation）和 逆离散傅里叶变换 IDFT(Inverse Discrete Fourier Transformation)

离散化多项式的一种方法是将值代入到多项式中，依次求出点值。显而易见，这种方法的复杂度是 的，这与我们降低复杂度的想法是冲突的。 于是我们引入了FFT的经典算法——Cooley-Tukey 算法，来降低离散化的复杂度，这是一个基于分治策略的算法。

给定一个多项式 我们将其根据奇偶项分成两个项数相同的多项式(将多项式补充到 ，补充项数系数为0。PS：为什么是 项呢，后续将会提及)： 显而易见：

在进一步之前：我们需要返回单位根的知识点。根据n次单位根的表达 ，我们可以获得一个等式

我们将其代入式子（14），（15）可得： 即 至此我们发现原本需要 次代入值的等式降低到了 次，依次递归下去，则我们只需要递归 次即可在 的复杂度下求得式子，即我们求得 个点值对的复杂度为 ，是可以接受的复杂度。

为了更加严谨的证明，以下过程供还有疑问的读者参考 由于式子（16）可得 则 其中求和中的 直接被替换为 的原因是，经过平方以后，负号被抵消。 复杂度公式则为

以上为Cooley-Tukey离散傅里叶变换DFT的思路。

经过DFT，我们将多项式的系数表达转换为多项式的点值表达。在完成乘法运算以后，我们为了获取系数的变换，需要将多项式的点值表达转换为多项式的系数表达。这时我们使用的方法是逆离散傅里叶变换IDFT，他是DFT的逆。

求解IDFT的过程实际上是一个求解线性方程的问题，给出 个线性方程为： 矩阵形式如下： 假设上述矩阵为 ，则对于矩阵 中值 设两个矩阵相乘以后的结果为 当 时， 当 时， （其中由于 为 次单位根，又因为 次单位根的 次为1，所以上式成立） 所以 则 则IDFT便是将 对结果再做一次DFT，即可获得最后的系数。

在具体实现FFT的过程中，还需要考虑到对于每一次递归我们如何进行合理的划分。于是这里引入bitreverse算法，也叫做蝴蝶变换。

通过这种划分方法，我们同时还能总结出另外一个规律，对于对于 个数字中的任意一个位置的数字，假设原本位置为 ，二进制反转的函数为 ，则最后其所在的位置为 （第一个位置为0），其中 为 位二进制。 举例说明： 对于 个数字中的 ，则其 位二进制的反转为 ，则其最后的位置为第 位（ps：图中没有继续将所有的数字划分到每组一个，读者可自行划分检验）

这里可以补充一个写法：假如我们将原数组定义为 ，经过反转后的数组定义为 ，则 。 又因为如果 是偶数，则 ，则对于 ，但考虑到如果是 是奇数，则 ，则对于 其中 为满足 的最小值。 综合写可以写成 通过这个写法，我们可以直接写出所有数字经过DFT划分后的结果。

参考： 从多项式乘法到快速傅里叶

傅里叶变换仿真毕业论文

这儿的数学博士应该很少.

随着社会的进步,工业的发展,我国机械制造业得到了巨大的发展。下文是我为大家整理的关于机械设计方面毕业论文例文参考的内容，欢迎大家阅读参考!

浅析大型机械驾驶室减振设计

摘要：本文概述了工程机械减振技术的发展概况，并以大型机械的驾驶室减振设计为背景，探讨了发动机悬置设计的基本原则，并对发动机减振的布置的力学特性进行分析，最后提出了以驾驶室模态试验为基础来检验现有类型的驾驶室的结构弱点检验和构件加强的方法。

关键词：机械 驾驶室 减振设计

1、概述

工程机械在水利工程、道路施工、矿山等场合得到大量的使用，其性能的可靠性直接影响到工程建设的正常开展。这类机械的设计时通常采用静态设计，设计理念上更多的是考虑机械的强度、耐久性等和机械的工作性质直接相关因素。但从实际使用情况来看，国产的大型工程机械普遍存在着施工过程中振动过大的问题，这将间接影响设备的抗疲劳特性和操作人员的舒适性和操作的稳定性。

由于工程机械的工作环境恶劣，车体结构的振动问题更加明显，直接影响到驾驶员的舒适性和驾驶的安全性。因此对于大型工程机械而言，控制车体振动尤其是驾驶室的振动，寻求有效的减震设计方法，对于提高驾驶员的舒适度和车体驾驶室构件的疲劳寿命都是有重要意义的。大型工程机械的振动控制问题是个非常复杂的问题，本文将这一问题缩小到驾驶室的减振设计上，主要通过发动机悬置位置的优化设计，以及基于模态分析和被动隔振理论来降低驾驶室的振动效应。

早期的汽车发动机减振方法是利用硫化橡胶，但硫化橡胶在耐油和耐高温方面表现不够理想。20世纪40年代设计出了液压悬置装置来降低发动机的振幅，并取得了较好的使用效果。但液压悬置减振装置在高频激励下会出现动态硬化的问题，已经逐渐不适应汽车发动机减振的要求。

上述几类减振方式都属于被动减振技术，在此基础上，随着发动机减振技术的进步，半主动减振技术开始应用到发动机减振中，这类减振技术的代表作是半主动控制式液压悬置装置，这类减振技术的应用最为广泛。尽管后来又出现了由被动减振器、激振器等所构成的主动减振技术，这一技术能够较好的实现降噪性能，但结构非常复杂，在恶劣工作环境下的工程车辆较少使用。

在工程车辆驾驶室的舒适度设计方面，主要所依据的是动态舒适性理论，用以评价驾驶人员在驾驶室振动的条件下对主观舒适程度。从驾驶员所承受的振动来源来看，主要是受发动机的周期性振动和来自于路面的随机激励。其传递机理较为复杂，跟发动机、驾驶室、座椅等的减振都有关系。因此为便于分析，本文中只针对驾驶室的减振问题展开研究。

2、大型工程机械驾驶室的减振设计

如前文所述，驾驶室的振源激励主要来自于路面和发动机及其传动机构。来自于路面的振源激励具有很大的随机性，要进行理论分析非常困难。加之在需要使用大型工程机械的场合机械的运动速度一般都较慢，随之产生的路面激振频率较低。因此相比之下，大型机械的发动机在运行时一直都处在高速运转状态，由此产生的激振频率很高，也更容易导致构件的疲劳损坏，实践证明发动机及其附件的疲劳损坏主要是由发动机周期激振力产生的交变应力引起的。从物理背景来看，工程机械的驾驶室所受到的振动激励主要来从车架传递到台架，驾驶室的振动行为属于被动响应。为了便于分析，将驾驶室的隔振系统进行简化，以单自由度弹簧阻尼系统来对驾驶室受到振动激励过程进行分析。

发动机的悬置设计

发动机在工作过程中的振动原因主要是不平衡力和力矩，这类振动不仅会引起车架的的振动，也会形成较强烈的噪声，不仅会影响到构件的使用寿命也会影响驾驶员的舒适度。要缓解发动机振动所造成的负面影响，采用悬置的设计方式是比较有效的途径，其实现方式是在动力总成和车架之间加入弹性支承元件。悬置设计方式的理论基础是发动机解耦理论，通过解除发动机六个自由度解耦，改变发动机的支撑位置，从而实现发动机自由度间振动耦合的解除。

此外，需要配合使用解除耦合后的各自由度方向的刚度与相应的阻尼系数，但应注意在解耦之后振动最强的自由度方向的共振控制，可应用主动隔振理论来确定减震器的刚度和阻尼系数。采用合适的刚度和阻尼系数的目的在于控制发动机悬置系统的减振区域。

具体到悬置设计的细节方面，主要是确定发动机支撑的数目和相应的布置位置。在考虑发动机动力总成悬置系统的支撑数目时，考虑的因素包括承重量和激振力两大类。在设计时通常都会依据车辆类型的不同选择三点或者四点支撑方式。对于大型机械而言，在实践中一般都会采用四点支撑的方式，本文中作为算例的发动机属于某型重型挖掘机的发动机。因此采用经典的四点支撑。其支撑位置选择在飞轮端和风扇端，上述两个位置分别设置两个对称的支撑点，采用支撑对称的目的在于后期解耦方便。从布置的方式上看，主要有平置、汇聚和斜置三种典型布置方式，具体采用哪种方式取决于发动机周围附属配件的布局方式以及车架所能提供的空间有关。本文中不重点讨论减振支撑的布置方式，因此仍然采用平置式的减振布置方式。

悬置系统的动力学分析

为减少研究成本，在支撑的材料上选用橡胶减振器。由前节所述，由于采用的是四个平置式的橡胶减震器，因此可以在进行力学分析时将其简化为三个互相垂直的弹簧阻尼系统，从而可以构建一个发动机主动隔振的力学模型。

驾驶室模态试验

在上述基本力学分析的基础上，进一步采用驾驶室模态试验的方法来检验整个驾驶室的减振效果，其目的在于掌握驾驶室的动态特性和找出驾驶室结构上的薄弱部位，同时以试验为基础还可以调整驾驶室减震器的系数匹配，减小驾驶室的整体振动响应。在试验时以快速傅里叶变换为以及，测量激振力和振动响应之间的关系，从而得到二者之间的传递函数，而模态分析的目的是通过实现来实现传递函数的曲线拟合和确定结构的模态参数。本试验中采用LMS模态测试分析软件，驾驶室所受的激振用力锤激振器来模拟。

在试验时用力锤敲击驾驶室从而制造出1-200HZ脉冲信号。通过记录下在不同激振频率下驾驶室结构的反应来确定驾驶室各个构件的强度，以及应该避免的激振频率。在得到这些基础数据后可为后续的驾驶室减振设计的选择悬置系统的减振区域的临界值，使得驾驶室所有构件的固有频率都能够位于减振器的减振区域内，从而起到抑制驾驶室结构的振动响应。

参考文献

[1]司爱国.轮式装载机行驶稳定系统开发与研究[D].北京：北京科技大学硕士学位论文.

[2]王敏.轻卡动力总成悬置系统的隔振性能[D].合肥：合肥工业大学硕士学位论文.

浅谈机械的可靠性设计

【摘要】本文主要叙述机械可靠性设计的一些基本内容，在此基础上进一步的分析了机械可靠性的优化设计，以及重点的分析了机械可靠性设计的稳健设计，希望能够对我国的机械可靠性设计发展有所帮助。

【关键词】机械可靠性设计;发展沿革;优化设计;稳健设计

引言：20世纪40年代的时候出现了可靠性设计思想，这种思想主要是将安全度作为主题所研究的可靠性理论，这项技术出现后在理论学术界以及实际工程界都有了很大的关注度，相关的理论以及方式也是不断的出现。比如：M onte C arlo 模拟法 、矩方法和以矩方法为基础的可靠性理论、响应面法、支持向量机法 、最大熵方法、随机有限元法和非概率分析方法等这些理论设计到了静强设计、疲劳强度设计、有限寿命设计的各个方面，对于结构系统、机构系统、震动系统等有这可靠性的研究。

1.机械可靠性设计的概述

在产品质量中可靠性是其最为主要的指标以及最重要的技术指标，工程界对于这一点也是越来越重视。在产品的设计、研制、装配、调试等各个环节中可靠性都有着一定的关联性，所以说在概率统计理论的基础上要加大其的推广认识，这样对于原本传统的相关问题能够很好的解决点，同时将产品质量提升上去而且使得产品成本有所降低。经过多年的发展，可靠性技术的不断发展，使得机械可靠性以及设计方式出现了很好的种类，但是就具体的实质来说，大致的分为数学模型法以及物流原因方式两种。

数学模型法就是通过某种实验数据所得概率统计为基础，逐渐的划分为两点，第一点为时间范畴中所涉及的量是可靠性质的，也是就是说因为依据某种规律在时间变动下，疲劳寿命以及耗损失都是在一定的范围之内的;第二种为，将某种偶然因素所发生结果所表现的可靠性，主要是因为不定期所出现的偶然因素所波动的，都是通过概率可靠性对于随机事件计算的，也会发展为两个方面：第一种是对模型法或者相关扩展方式，这样的方式主要是对于产品实效原因产生与产品上应力大于产品本身的强度，所以说应力概率是低于可靠度强度的，第二种为随即过程中或者是随机场不超出规定水准的概率。

2.可靠性优化设计

可靠性优化设计的基本理论

无论是什么样的机械产品，在最开始的方案构建到后期的生产制造实施，都是需要经过一个设计过程的，但是现在计算不断发展，新的知识、新的材料、新的手工艺、新的会计不断的出现，使得机械产品日益在完善，这就是所谓的知识成就了技术、技术成就了产品时间。使得研究的时间越来越短，但是结构确实越来越复杂，这样的情况下顾客对于产品功能、性能、质量、或者是相关服务都有着很大的要求。

这样的趋势下，对于设计整个过程要加大进度，设计周期要缩短。同时需要注意的是，对于设计是不是能够完善来说，产品的力学性能或者是使用价值、制造成本都是有着一定行的影响的，但是对于产品企业的工作质量或者是仅仅效果也是有着相对影响的，所以说，如何将设计质量提升上去，设计理论怎么发展下去，设计技术怎么做到更好，设计过程怎么才能加快嫉妒，都是现在机械设计中所研究的重要问题。

60年代的时候是机械优化设计发展最为迅速的时候，将数学规划以及计算机技术这两种结合在一起。所谓的数学规划理念在现在已经是不断的成熟起来，计算机技术也是高速的发展和广泛的使用中，在工程设计中为最普遍使用优化设计提供相关理论以及方式。

国家能源以及相关资源的是否被合理使用都受到了产品最佳、最可靠性的问题影响，通过使用最佳或者是最可靠性设计能够得到小体积、轻质量、节能材料的产品，同时这样产品有着一定的可靠性，机械产品所进行优化设计的主要目标就是根据一定的预期点或者是安全需要，通过一种最优化的形式将产品展示处理，在进行设计的同时需要将各种载荷随机性考虑到位，同时不能忽略的是结构参数的随机性，这两点对于产品都有着一定性能的影响。

所谓的可靠性优化设计是指质量、成本、可靠度这三方面的，将产品的总体可靠度进行一定的性能约束优化，将所出现的问题合理安全性的相结合，这样也是在结构布局或者是产品质量有保证情况，使得产品有了最大化的可靠度。

近年来可靠性优化设计发展

最近的30年内，机械设计领域中，因为科技的融入使得现代化设计方式以及相关的科学方式不断的出现，在可靠性设计或者是优化设计方面一定有着很高的水准，但是就单方面来说，无论是可靠性设计或者是优化设计，都不能很好的将其所具备的巨大潜力展示出来。一点是因为可靠性设计和优化设计是不相同的，在机械产品经过可靠性设计之后，不能将其工作性能或者是参数达到最为优秀的一点，还有一点是因为优化设计所包含的不是可靠性设计，机械产品要是在不可靠性情况下所进行的优化设计，不能保证产品在一定的条件下或者是时间内，能够将所规定的功能很好的完成，有的时候也许会出现一定的事故，这样直接都有着经济损失。

除此之外，因为机械产品有着很多的设计参数，要是对于多个设计参数进行确定的时候，单纯的可靠性设计就不是这样有地位了，所以在进行可靠性优化设计研究的前提下，要将机械产品可靠性要求先保证，同时保证所运行的环境是最佳的工作性能以及参数，将可靠性或者是优化性设计很好的结合在一起，然后在发展研究设计，才能得出最为优秀的设计方式。

关于可靠性的稳健设计

产品质量是企业赢得用户的关键因素 。任何一种产品，它的总体质量一般可分为用户质量if't-部质量)和技术质量(内部质量)。前者是指用户所能感受到、见到、触到或听到的体现产品优劣的一些质量特性 ;后者是指产品在优良的设计和制造质量下达到理想功能 的稳健性。稳健设计作为一种低成本和高质量的设计思想和方法，对产 品性能、质量和成本综合考虑，选择出最佳设计，不仅可以提高产品的质量，而且可以降低成本。在机械产 品设计中，正确地应用稳健设计的理论与方法可以使产品在制造和使用中，或是在规定的寿命期 问内当设计因素发生微小变化时都能保证产品质量的稳定 。

结束语：总而言之，对于机械的可靠性设计而言，设计人员应该根据实际，做出最优的设计，只有这样的设计才能将可靠性或者是优化设计巨大潜力发挥出来，将两点所具有的优势已近特长全部发挥出来，才能达到产品最佳以及最可靠点，这样的设计有着最为先进和最实用的设计特点，才能最好的达到预定的目标，和保证在设计中的机械产品的质量以及经济效益。

【参考文献】

[1]杨为民，盛～兴.系统可靠性数字仿真[M ].北京：北京航空航天大学出版社，1990.

[2]谢里阳，何雪法，李佳.机电系统可靠性与安全性设计[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2006.

[3]阎楚良，杨方飞.机械数字化设计新技术[M ].北京：机械工业 出版.2007.

[4]张义民，刘巧伶.多随机参数结构可靠性分析的随机有限元法[J] 东北工学院学报，2012，13(增刊)：

[5] 金雅娟，张义民，张艳林，等.任意分布参数的涡轮盘裂纹扩展寿命可靠性分析[J].工程设计学报，2009，l6(3)：196-199 .

跳频扩频通信系统的MATLAB建模与仿真基于类傅里叶变换的信号去噪千GHz波段通信微弱信号的数字同步检测技术

傅里叶变换的应用毕业论文

有n维傅里叶变换，n取3即可。百*度傅里叶变换，有论文可以参考。

傅立叶变换，表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅立叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅立叶变换和离散傅立叶变换。最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。

傅里叶级数和傅里叶变换其实就是我们之前讨论的特征值与特征向量的问题。分解信号的方法是无穷的，但分解信号的目的是为了更加简单地处理原来的信号。

扩展资料

傅里叶变换的应用：

1、傅里叶变换是线性算子，若赋予适当的范数，它还是酉算子；

2、傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似；

3、正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取；

4、著名的卷积定理指出：傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算，从而提供了计算卷积的一种简单手段；

5、离散形式的傅里叶变换可以利用数字计算机快速的算出（其算法称为快速傅里叶变换算法（FFT))。

参考资料来源：百度百科-傅里叶变换

傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。老实说，这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析，有可能的话高中生都能看懂的那种。所以，不管读到这里的您从事何种工作，我保证您都能看懂，并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。

至于对于已经有一定基础的朋友，也希望不要看到会的地方就急忙往后翻，仔细读一定会有新的发现。傅里叶是一位法国数学家和物理学家的名字，英语原名是JeanBaptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier对热传递很感兴趣，于1807年在法国科学学会上发表了一篇论文，运用正弦曲线来描述温度分布，论文里有个在当时具有争议性的决断：任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。

当时审查这个论文的人，其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗日(Joseph LouisLagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(PierreSimon de Laplace, 1749-1827)，当拉普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论文时，拉格朗日坚决反对，在他此后生命的六年中，拉格朗日坚持认为傅里叶的方法无法表示带有棱角的信号，如在方波中出现非连续变化斜率。法国科学学会屈服于拉格朗日的威望，拒绝了傅里叶的工作，幸运的是，傅里叶还有其它事情可忙，他参加了政治运动，随拿破仑远征埃及，法国大革命后因会被推上断头台而一直在逃避。直到拉格朗日死后15年这个论文才被发表出来。

凡有变化的波(交流、频率)才能传递信号，一个一直不变的直流信号是无法传递信息的。这种“交流”是指广义的，普遍的，无论是自然界里蝙蝠探路，人们互相交谈，还是卫星接收信号，都属于交流的范畴。为了传递信号，产生交流，我们需要以“波”作为信号的载体。最简单的波，就以一定频率传播。蝙蝠发出了超声波，人们说话，声带振动带动了空气疏密波（声波），卫星识别电磁波。这样，我们就有了频率的概念。更进一步，除了手机GHz的波这些经典电磁波，在量子世界里，原子的跃迁也是以一定的频率发生的。我们甚至可以说，自然选择了以这些单频的模式为基础。

对于一个信号来说，信号强度随时间的变化规律就是时域特性，信号是由哪些单一频率的信号合成的就是频域特性。这里引入了时域频域的概念。我们就有必要解释一下为什么时间和频率来描述这个世界是等价的？什么是时域？从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析。而我们也想当然的认为，世间万物都在随着时间不停的改变，并且永远不会静止下来。

傅立叶变换毕业论文

有n维傅里叶变换，n取3即可。百*度傅里叶变换，有论文可以参考。

我来帮你搞定

傅里叶变换和卷积题目的论文

傅里叶变换的卷积特性：就是用各种频率不同的周期函数（频域）线性表示原始函数（时域），必然具有线性性。

傅里叶变换，表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。

在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。

尽管最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。"任意"的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式；

而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类，这一想法跟化学上的原子论想法何其相似！奇妙的是，现代数学发现傅里叶变换具有非常好的性质，使得它如此的好用和有用，让人不得不感叹造物的神奇：

1、傅里叶变换是线性算子，若赋予适当的范数，它还是酉算子；

2、傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似；

3、正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取；

4、著名的卷积定理指出：傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算，从而提供了计算卷积的一种简单手段；

5、离散形式的傅里叶变换可以利用数字计算机快速的算出（其算法称为快速傅里叶变换算法（FFT))。

正是由于上述的良好性质，傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。

这两个式子的'*'应该是第一个是卷积，而第二个是乘号，第一个用到时域相乘对应频域卷积，第二个是频域相乘，对应时域卷积。跟复变函数没啥关系