正定矩阵的判定毕业论文目录

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一．定义因为正定二次型与正定矩阵有密切的联系，所以在定义正定矩阵之前，让我们先定义正定二次型:设有二次型,如果对任何x0都有f(x)>0(0)，则称f(x)为正定（半正定）二次型。相应的，正定（半正定）矩阵和负定（半负定）矩阵的定义为：令a为阶对称矩阵，若对任意n维向量x0都有＞0(≥0)则称a正定（半正定）矩阵；反之，令a为n阶对称矩阵，若对任意n维向量x≠0,都有＜0（≤0），则称a负定（半负定）矩阵。例如，单位矩阵e就是正定矩阵。二．正定矩阵的一些判别方法由正定矩阵的概念可知，判别正定矩阵有如下方法：阶对称矩阵a正定的充分必要条件是a的n个特征值全是正数。证明：若，则有∴λ＞0反之，必存在u使即有这就证明了a正定。由上面的判别正定性的方法，不难得到a为半正定矩阵的充要条件是：a的特征值全部非负。2．n阶对称矩阵a正定的充分必要条件是a合同于单位矩阵e。证明：a正定二次型正定a的正惯性指数为n3．n阶对称矩阵a正定（半正定）的充分必要条件是存在n阶可逆矩阵u使；进一步有（b为正定（半正定）矩阵）。证明：n阶对称矩阵a正定，则存在可逆矩阵u使令则令则反之，∴a正定。同理可证a为半正定时的情况。4．n阶对称矩阵a正定，则a的主对角线元素，且。证明：（1）∵n阶对称矩阵a正定∴是正定二次型现取一组不全为0的数0,…,0,1,0…0(其中第i个数为1)代入，有∴∴a正定∴存在可逆矩阵c，使5．n阶对称矩阵a正定的充分必要条件是：a的n个顺序主子式全大于零。证明：必要性：设二次型是正定的对每个k,k=1,2,…,n,令，现证是一个k元二次型。∵对任意k个不全为零的实数，有∴是正定的∴的矩阵是正定矩阵即即a的顺序主子式全大于零。充分性：对n作数学归纳法当n=1时，∵，显然是正定的。假设对n-1元实二次型结论成立，现在证明n元的情形。令，，∴a可分块写成∵a的顺序主子式全大于零∴的顺序主子式也全大于零由归纳假设，是正定矩阵即，存在n-1阶可逆矩阵q使令∴再令，有令，就有两边取行列式，则由条件得a＞0显然即a合同于e，∴a是正定的。三．负定矩阵的一些判别方法1．n阶对称矩阵a是负定矩阵的充分必要条件是a的负惯性指数为n。2．n阶对称矩阵a是负定矩阵的充分必要条件是a的特征值全小于零。3．n阶对称矩阵a是负定矩阵的充分必要条件是a的顺序主子式满足，即奇数阶顺序主子式全小于零，偶数阶顺序主子式全大于零。由于a是负定的当且仅当-a是正定的，所以上叙结论不难从正定性的有关结论直接得出，故证明略。四．半正定矩阵的一些判别方法1．n阶对称矩阵a是半正定矩阵的充分必要条件是a的正惯性指数等于它的秩。2．n阶对称矩阵a是半正定矩阵的充分必要条件是a的特征值全大于等于零，但至少有一个特征值等于零。3．n阶对称矩阵a是负定矩阵的充分必要条件是a的各阶主子式全大于等于零，但至少有一个主子式等于零。注：3中指的是主子式而不是顺序主子式，实际上，只有顺序主子式大于等于零并不能保证a是半正定的，例如：矩阵的顺序主子式，，，但a并不是半正定的。关于半负定也有类似的定理，这里不再写出。

广义定义：设M是n阶方阵，如果对任何非零向量z，都有zTMz> 0，其中zT 表示z的转置，就称M为正定矩阵。

例如：B为n阶矩阵，E为单位矩阵，a为正实数。在a充分大时，aE+B为正定矩阵。（B必须为对称阵）。

狭义定义：一个n阶的实对称矩阵M是正定的的条件是当且仅当对于所有的非零实系数向量z，都有zTMz> 0。其中zT表示z的转置。

扩展资料

正定矩阵在相合变换下可化为规范型， 即单位矩阵。所有特征值大于零的对称矩阵（或厄米特矩阵）是正定矩阵。正定矩阵的性质：

1、正定矩阵的行列式恒为正；

2、实对称矩阵A正定当且仅当A与单位矩阵合同；

3、若A是正定矩阵，则A的逆矩阵也是正定矩阵；

4、两个正定矩阵的和是正定矩阵；

5、正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵。

等价条件:

1、AA是半正定的；

2、AA的所有主子式均为非负的；

3、AA的特征值均为非负的；

4、存在n阶实矩阵C，使A=C'CC，使A=C′C；

5、存在秩为r的r×n实矩阵BB，使A=B'BA=B′B。

参考资料来源：百度百科-正定矩阵

正定矩阵

1.正定矩阵的任一主子矩阵也是正定矩阵。

2.若A为n阶对称正定矩阵，则存在唯一的主对角线元素都是正数的下三角阵L，使得A=L*L′，此分解式称为 正定矩阵的楚列斯基（Cholesky）分解。

3.若A为n阶正定矩阵，则A为n阶可逆矩阵。

判定一个矩阵半正定

1、对于半正定矩阵来说，相应的条件应改为所有的主子式非负。顺序主子式非负并不能推出矩阵是半正定的。

2、半正定矩阵

定义：设A是实对称矩阵。如果对任意的实非零列矩阵X有XT*A*X≥0，就称A为半正定矩阵。

3、A∈Mn（K）是半正定矩阵的充分条件是：A的所有主子式大于或等于零。

负定矩阵

定义：设A是实对称矩阵。如果对任意的实非零列矩阵X有XTAX<0，就称A为负定矩阵。

1. A∈Mn（K）是负定矩阵的充要条件是：-A是正定矩阵。

2. A∈Mn（K）是负定矩阵的充要条件是：$A^{-1}$是负定矩阵。

3. A∈Mn（K）是负定矩阵的充要条件是：A的所有奇数阶顺序主子式小于零，所有偶数阶顺序主子式大于零。

问题一：怎么判断一个矩阵是否为正定矩阵？ 5分 正定矩阵的定义是从正定二次型来的 正定二次型的矩阵称为正定矩阵， 对称阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正。 所以计算得到矩阵的特征值，全部为正数就是正定矩阵 问题二：线性代数求解哪个是正定矩阵 怎么判断 根据正定矩阵顺序主子式都大于0，所以选D 问题三：如何判定一个矩阵半正定？ 你记住：对A的特征值全为正数，那么是正定的。 不正定，那么就非正定或半正定。若A的特征值大于等于，则半正定。否则非正定。 就这么简单。其他的你可以根据特征根的相关知识推到。。 问题四：如何判断一个矩阵正定 你记住：对A的特征值全为正数，那么是正定的。 不正定，那么就非正定或半正定。若A的特征值大于等于，则半正定。否则非正定。 就这么简单。其他的你可以根据特征根的相关知识推到。。

正定矩阵的判定与应用毕业论文

看看课本吧北大版的高等代数 经典上面说的很清楚

矩阵正定性的性质：

1、正定矩阵的特征值都是正数。

2、正定矩阵的主元也都是正数。

3、正定矩阵的所有子行列式都是正数。

4、正定矩阵将方阵特征值，主元，行列式融为一体。

正定矩阵的判别方法：

1、 对称矩阵A正定的充分必要条件是A的n个特征值全是正数。

2、对称矩阵A正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵E。

3、对称矩阵A正定(半正定)的充分必要条件是存在n阶可逆矩阵U使A=U^TU

4、对称矩阵A正定，则A的主对角线元素均为正数。

5、对称矩阵A正定的充分必要条件是:A的n个顺序主子式全大于零。

扩展资料：

广义的正定矩阵判断：

设M是n阶方阵，如果对任何非零向量z，都有zTMz> 0，其中zT 表示z的转置，就称M正定矩阵。

例如：B为n阶矩阵，E为单位矩阵，a为正实数。aE+B在a充分大时，aE+B为正定矩阵。（B必须为对称阵）

狭义正定矩阵判断：

一个n阶的实对称矩阵M是正定的当且仅当对于所有的非零实系数向量z，都有zTMz> 0。其中zT表示z的转置。

参考资料来源：百度百科-正定矩阵

一． 定义 因为正定二次型与正定矩阵有密切的联系，所以在定义正定矩阵之前，让我们先定义正定二次型: 设有二次型 ,如果对任何x 0都有f(x)>0( 0) ，则称f(x) 为正定（半正定）二次型。 相应的，正定（半正定）矩阵和负定（半负定）矩阵的定义为： 令A为 阶对称矩阵，若对任意n 维向量 x 0都有 ＞0(≥0)则称A正定（半正定）矩阵；反之，令A为n 阶对称矩阵，若对任意 n 维向量 x≠0 ,都有 ＜0（≤ 0）， 则称A负定（半负定）矩阵。 例如，单位矩阵E 就是正定矩阵。 二． 正定矩阵的一些判别方法 由正定矩阵的概念可知，判别正定矩阵有如下方法： 阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A的 n 个特征值全是正数。 证明：若 ， 则有 ∴λ＞0 反之，必存在U使 即 有 这就证明了A正定。 由上面的判别正定性的方法，不难得到A为半正定矩阵的充要条件是：A的特征值全部非负。 2．n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵E。 证明：A正定 二次型 正定 A的正惯性指数为n 3．n阶对称矩阵A正定（半正定）的充分必要条件是存在 n阶可逆矩阵U使 ；进一步有 （B为正定（半正定）矩阵）。 证明：n阶对称矩阵A正定，则存在可逆矩阵U使 令 则 令 则 反之， ∴A正定。 同理可证A为半正定时的情况。 4．n阶对称矩阵A正定，则A的主对角线元素 ，且 。 证明：（1）∵n阶对称矩阵A正定 ∴ 是正定二次型 现取一组不全为0 的数0,…,0,1,0…0(其中第I个数为1)代入，有 ∴ ∴A正定 ∴存在可逆矩阵C ，使 5．n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是：A的 n 个顺序主子式全大于零。 证明：必要性： 设二次型 是正定的 对每个k,k=1,2,…,n,令 ， 现证 是一个k元二次型。 ∵对任意k个不全为零的实数 ，有 ∴ 是正定的 ∴ 的矩阵 是正定矩阵 即 即A的顺序主子式全大于零。 充分性： 对n作数学归纳法 当n=1时， ∵ ， 显然 是正定的。 假设对n-1元实二次型结论成立，现在证明n元的情形。 令 ， ， ∴A可分块写成 ∵A的顺序主子式全大于零 ∴ 的顺序主子式也全大于零 由归纳假设， 是正定矩阵即，存在n-1阶可逆矩阵Q使 令 ∴ 再令 ， 有 令 ， 就有 两边取行列式，则 由条件 得a＞0 显然 即A合同于E ， ∴A是正定的。 三． 负定矩阵的一些判别方法 1．n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的负惯性指数为n。 2．n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的特征值全小于零。 3．n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的顺序主子式 满足 ， 即奇数阶顺序主子式全小于零，偶数阶顺序主子式全大于零。 由于A是负定的当且仅当-A是正定的，所以上叙结论不难从正定性的有关结论直接得出，故证明略。 四．半正定矩阵的一些判别方法 1． n阶对称矩阵A是半正定矩阵的充分必要条件是A的正惯性指数等于它的秩。 2． n阶对称矩阵A是半正定矩阵的充分必要条件是A的特征值全大于等于零，但至少有一个特征值等于零。 3． n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的各阶主子式全大于等于零，但至少有一个主子式等于零。 注：3中指的是主子式而不是顺序主子式，实际上，只有顺序主子式大于等于零并不能保证A是半正定的，例如： 矩阵 的顺序主子式 ， ， ， 但A并不是半正定的。 关于半负定也有类似的定理，这里不再写出。

1、行列式法

对于给定的二次型

写出它的矩阵，根据对称矩阵的所有顺序主子式是否全大于零来判定二次型 (或对称矩阵)的正定性。

2、正惯性指数法

对于给定的二次型 ，先将化为标准形，然后根据标准形中平方项系数为正的个数是否等于n来判定二次型的正定性。

通过正交变换，将二次型化为标准形后，标准形中平方项的系数就是二次型矩阵的特征值。因此，可先求二次型矩阵的特征值，然后根据大于零的特征值个数是否等于n来判定二次型的正定性。

扩展资料：

正定矩阵的判定：

1、求出A的所有特征值。若A的特征值均为正数，则A是正定的；若A的特征值均为负数，则A为负定的。

2、计算A的各阶主子式。若A的各阶主子式均大于零，则A是正定的；若A的各阶主子式中，奇数阶主子式为负，偶数阶为正，则A为负定的。

正定矩阵的性质研究小论文

一． 定义 因为正定二次型与正定矩阵有密切的联系，所以在定义正定矩阵之前，让我们先定义正定二次型: 设有二次型 ,如果对任何x 0都有f(x)>0( 0) ，则称f(x) 为正定（半正定）二次型。 相应的，正定（半正定）矩阵和负定（半负定）矩阵的定义为： 令A为 阶对称矩阵，若对任意n 维向量 x 0都有 ＞0(≥0)则称A正定（半正定）矩阵；反之，令A为n 阶对称矩阵，若对任意 n 维向量 x≠0 ,都有 ＜0（≤ 0）， 则称A负定（半负定）矩阵。 例如，单位矩阵E 就是正定矩阵。 二． 正定矩阵的一些判别方法 由正定矩阵的概念可知，判别正定矩阵有如下方法： 阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A的 n 个特征值全是正数。 证明：若 ， 则有 ∴λ＞0 反之，必存在U使 即 有 这就证明了A正定。 由上面的判别正定性的方法，不难得到A为半正定矩阵的充要条件是：A的特征值全部非负。 2．n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵E。 证明：A正定 二次型 正定 A的正惯性指数为n 3．n阶对称矩阵A正定（半正定）的充分必要条件是存在 n阶可逆矩阵U使 ；进一步有 （B为正定（半正定）矩阵）。 证明：n阶对称矩阵A正定，则存在可逆矩阵U使 令 则 令 则 反之， ∴A正定。 同理可证A为半正定时的情况。 4．n阶对称矩阵A正定，则A的主对角线元素 ，且 。 证明：（1）∵n阶对称矩阵A正定 ∴ 是正定二次型 现取一组不全为0 的数0,…,0,1,0…0(其中第I个数为1)代入，有 ∴ ∴A正定 ∴存在可逆矩阵C ，使 5．n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是：A的 n 个顺序主子式全大于零。 证明：必要性： 设二次型 是正定的 对每个k,k=1,2,…,n,令 ， 现证 是一个k元二次型。 ∵对任意k个不全为零的实数 ，有 ∴ 是正定的 ∴ 的矩阵 是正定矩阵 即 即A的顺序主子式全大于零。 充分性： 对n作数学归纳法 当n=1时， ∵ ， 显然 是正定的。 假设对n-1元实二次型结论成立，现在证明n元的情形。 令 ， ， ∴A可分块写成 ∵A的顺序主子式全大于零 ∴ 的顺序主子式也全大于零 由归纳假设， 是正定矩阵即，存在n-1阶可逆矩阵Q使 令 ∴ 再令 ， 有 令 ， 就有 两边取行列式，则 由条件 得a＞0 显然 即A合同于E ， ∴A是正定的。 三． 负定矩阵的一些判别方法 1．n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的负惯性指数为n。 2．n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的特征值全小于零。 3．n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的顺序主子式 满足 ， 即奇数阶顺序主子式全小于零，偶数阶顺序主子式全大于零。 由于A是负定的当且仅当-A是正定的，所以上叙结论不难从正定性的有关结论直接得出，故证明略。 四．半正定矩阵的一些判别方法 1． n阶对称矩阵A是半正定矩阵的充分必要条件是A的正惯性指数等于它的秩。 2． n阶对称矩阵A是半正定矩阵的充分必要条件是A的特征值全大于等于零，但至少有一个特征值等于零。 3． n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的各阶主子式全大于等于零，但至少有一个主子式等于零。 注：3中指的是主子式而不是顺序主子式，实际上，只有顺序主子式大于等于零并不能保证A是半正定的，例如： 矩阵 的顺序主子式 ， ， ， 但A并不是半正定的。 关于半负定也有类似的定理，这里不再写出。

正定矩阵在合同变换下可化为标准型， 即对角矩阵。所有特征值大于零的对称矩阵（或厄米矩阵）也是正定矩阵。判定定理1：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正。判定定理2：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的各阶顺序主子式都为正。判定定理3：任意阵A为正定的充分必要条件是：A合同于单位阵。正定矩阵的性质：1.正定矩阵一定是非奇异的。奇异矩阵的定义：若n阶矩阵A为奇异阵，则其的行列式为零，即 |A|=0。2.正定矩阵的任一主子矩阵也是正定矩阵。3.若A为n阶对称正定矩阵，则存在唯一的主对角线元素都是正数的下三角阵L，使得A=L*L′，此分解式称为 正定矩阵的乔列斯基（Cholesky）分解。4.若A为n阶正定矩阵，则A为n阶可逆矩阵。

1 相关定义 定义1 设A∈，若对≠ x∈，都有AX > 0，则称A为正定矩阵，记为A∈． 记={A|≠ x∈，使AX > 0}． 定义2设A∈，如果对≠X∈，都有正对角矩阵D=> 0，使得AX > 0，则称A为广义正定矩阵，记为A∈，若D=与x无关，则记为A∈。记={A∈|≠X]正对角矩阵D，使DAX > 0}．定义3 设A∈，若=A，对≠ x∈ ，都有AX > 0，则称A为实对称正定矩阵，记为A ∈ S+． 记={A∈|≠x，=A，使AX > 0}．定义4 设A∈，如果对≠X,都有S=∈使得DAX > 0，则称A为广义正定矩阵，记为A∈，若S=与x无关，则记为A∈．记={A∈|≠X，S=,使DAX > 0}.定义5设A∈，如果对≠ X∈，都有S=.s+，使得AX > 0，则称A为广义正定矩阵，记为A∈．若S=与x无关，则记为A∈

数学矩阵求逆矩阵的毕业论文

还有三个月就是毕业生们答辩的时间了，但是很多毕业生们目前连选题都还没有选好。时间紧迫，我立马为大家精心整理了一些大学数学系本科毕业论文题目，供毕业生们参考! 1、导数在不等式证明中的应用 2、导数在不等式证明中的应用 3、导数在不等式证明中的应用 4、等价无穷小在求函数极限中的应用及推广 5、迪克斯特拉(Dijkstra)算法及其改进 6、第二积分中值定理“中间点”的性态 7、对均值不等式的探讨 8、对数学教学中开放题的探讨 9、对数学教学中开放题使用的几点思考 10、对现行较普遍的彩票发行方案的讨论 11、对一定理证明过程的感想 12、对一类递推数列收敛性的讨论 13、多扇图和多轮图的生成树计数 14、多维背包问题的扰动修复 15、多项式不可约的判别方法及应用 16、多元函数的极值 17、多元函数的极值及其应用 18、多元函数的极值及其应用 19、多元函数的极值问题 20、多元函数极值问题 21、二次曲线方程的化简 22、二元函数的单调性及其应用 23、二元函数的极值存在的判别方法 24、二元函数极限不存在性之研究 25、反对称矩阵与正交矩阵、对角形矩阵的关系 26、反循环矩阵和分块对称反循环矩阵 27、范德蒙行列式的一些应用 28、方阵A的伴随矩阵 29、放缩法及其应用 30、分块矩阵的应用 31、分块矩阵行列式计算的若干方法 32、辅助函数在数学分析中的应用 33、复合函数的可测性 34、概率方法在其他数学问题中的应用 35、概率论的发展简介及其在生活中的若干应用 36、概率论在彩票中的应用 37、概率统计在彩票中的应用 38、概率统计在实际生活中的应用 39、概率在点名机制中的应用 40、高阶等差数列的通项，前n项和公式的探讨及应用 41、给定点集最小覆盖快速近似算法的进一步研究及其应用 42、关联矩阵的一些性质及其应用 43、关于Gauss整数环及其推广 44、关于g-循环矩阵的逆矩阵 45、关于二重极限的若干计算方法 46、关于反函数问题的讨论 47、关于非线性方程问题的求解 48、关于函数一致连续性的几点注记 49、关于矩阵的秩的讨论 _ 50、关于两个特殊不等式的推广及应用 51、关于幂指函数的极限求法 52、关于扫雪问题的数学模型 53、关于实数完备性及其应用 54、关于数列通项公式问题探讨 55、关于椭圆性质及其应用地探究、推广 56、关于线性方程组的迭代法求解 57、关于一类非开非闭的商映射的构造 58、关于一类生态数学模型的几点思考 59、关于圆锥曲线中若干定值问题的求解初探 60、关于置信区间与假设检验的研究 61、关于周期函数的探讨 62、函数的一致连续性及其应用 63、函数定义的发展 64、函数级数在复分析中与在实分析中的关系 65、函数极值的求法 66、函数幂级数的展开和应用 67、函数项级数的收敛判别法的推广和应用 68、函数项级数一致收敛的判别 69、函数最值问题解法的探讨 70、蝴蝶定理的推广及应用 71、化归中的矛盾分析法研究 72、环上矩阵广义逆的若干性质 73、积分中值定理的再讨论 74、积分中值定理正反问题‘中间点’的渐近性 75、基于高中新教材的概率学习 76、基于最优生成树的'海底油气集输管网策略分析 77、级数求和的常用方法与几个特殊级数和 78、级数求和问题的几个转化 79、级数在求极限中的应用 80、极限的求法与技巧 81、极值的分析和运用 82、极值思想在图论中的应用 83、几个广义正定矩阵的内在联系及其区别 84、几个特殊不等式的巧妙证法及其推广应用 85、几个重要不等式的证明及应用 86、几个重要不等式在数学竞赛中的应用 87、几种特殊矩阵的逆矩阵求法

矩阵毕业论文题目

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好写哦！科技论文，专业性这么强，写出来，也是只有专业人员才能明白。首先，序言：把矩阵的乘法原理，加以介绍、解释和说明，这些就是书上现成的东西。接着介绍其应用都有哪些，具体在哪些方面。最后说明本文主要介绍哪些方面的具体应用及事例。进入正文，集中写清楚，你要介绍的应用及事例。字数要多，就多写，写详细一些；字数一般，就写得一般，就可以啦。。。祝成功！